Eine »Reinkarnation« in der Strukturmechanik

Vor genau einhundert Jahren veröffentlichte der irische Ingenieur George Gerald Stoney die ersten analytischen Beziehungen für die Berechnung der durch innere Materialspannung hervorgerufenen mechanischen Verformung von dünnen Schichten auf plattenförmigen Substraten /1/. Obwohl die von Stoney veröffentlichten Beziehungen noch heute für die Bestimmung einer integralen Schichtspannung verwendet werden, besitzen diese den Nachteil, dass sie nur für einen Spezialfall gelten. Hier muss das Substrat wesentlich dicker als die abgeschiedene Schicht sein. Nach den Veröffentlichungen von Stoney folgten eine Reihe von Platten-, Schalen oder Membrantheorien, welche bis hin zu analytischen Berechnungen der Verformung mehrlagiger Schichtstapel aufgrund der inneren Materialspannungen beliebig vieler Schichten erweitert wurden /2/.

Ein grundlegendes Problem in den analytischen Berechnungen der Verformung von Mehrschichtstapeln /2/ ist, dass die inneren Materialspannungen aller Schichten gleichzeitig wirken und zur Verformung des Schichtverbundes beitragen. Der Einfluss der Schichtabscheidung auf verformtem Substrat und somit der Effekt der jeweiligen Schichtabscheidung innerhalb des mehrfachen Beschichtungsprozesses bleibt hier unberücksichtigt.

Mit Hilfe der Finiten Elemente Analyse (FEA) und unter Verwendung der weiter unten erläuterten Birth & Death Methode ist eine exaktere Berechnung möglich, welche zudem auch für große Auslenkungen des Schichtstapels mittels nichtlinearer Analysen anwendbar ist. Es ist nun gelungen, diese Methode in die FEA-Software Comsol Multiphysics mit Hilfe einer selbstdefinierten mechanisch gekoppelten Analyse zu implementieren. Anhand eines einfachen Beispiels soll hier diese Methode und deren Wirkung demonstriert werden. Der exemplarische Prozessfluss für die Schichtabscheidung zweier dünner Schichten auf einer 20 µm dicken, ebenen Siliziumplatte ist im Bild 1 gezeigt. In diesem Beispiel wird die Siliziumplatte bis zur Oxidationstemperatur von 900°C erwärmt, eine 1 µm dicke Siliziumoxidschicht aufgewachsen und anschließend bis zur Abscheidetemperatur der Folgeschicht abgekühlt. Aufgrund der verschiedenen Längenausdehnungskoeffizienten von Silizium und Siliziumoxid erfährt der Schichtstapel eine helmförmige, sphärische Verkrümmung. Als zweite Schicht soll hier 1 µm dickes Aluminium auf dem bereits verkrümmten Substrat bei 400°C aufgedampft werden. Die Bewertung der Verformung des Schichtstapels erfolgt anschließend bei Raumtemperatur.

Für die Berücksichtigung der Aluminiumschichtabscheidung auf verkrümmter Unterlage werden drei Funktionen innerhalb der FEA benötigt:

1. Die Death-Option ermöglicht eine mechanisch rückwirkungsfreie Bewegung der Schichten, welche zu einem späteren Prozess- beziehungsweise Simulationsschritt aktiviert werden (2. Schritt in Bild 1).

2. Die Birth-Option versetzt die zuvor mit Hilfe der Death-Option deaktivierten Schichten in einen mechanisch aktiven Zustand (3. Schritt in Bild 1).

3. Für jede neue Schichtabscheidung muss ein weiterer Simulationsschritt durchgeführt werden (zwei Simulationsschritte der Temperaturänderungen ∆T₁ und ∆T₂ für den Beispielprozess in Bild 1).

Eine freie und mechanisch rückwirk- ungslose Bewegung von Schichtelementen (Death-Option) wird erreicht, indem für den Elastizitätsmodul ein außerordentlich kleiner Wert (beispielsweise 10^–12 Pa) genutzt wird. Im zweiten Prozessschritt des vorgestellten Beispiels bedeutet dies, dass durch die Verformung der Silizium- und Siliziumoxidschicht in der deaktivierten Aluminiumschicht eingekoppelte Verschiebungen und Dehnungen zu keinen mechanischen Spannungen und demnach zu keinen Reaktionskräften führen können. Somit beeinflusst die deaktivierte Aluminiumschicht nicht die thermisch induzierte Verformung des darunter befindlichen Schichtverbundes. Die Wiederbelebung (Birth-Option) der deaktivierten Schichtelemente erfolgt durch Rücksetzen des Elastizitätsmoduls auf den physikalischen Materialwert.

Prinzipiell können die für jede Schichtabscheidung notwendigen Simulationsschritte nacheinander oder parallel durchgeführt werden. In Bild 2 wird die Umsetzung der Birth & Death Methode in Comsol Multiphysics veranschaulicht, wobei hier die parallele Simulation mit Hilfe zweier miteinander gekoppelter, physikalischer Domänen genutzt wird. In jeder Domäne ist der Querschnitt des Schichtstapels im zweidimensionalen Raum mit Hilfe ebener Dehnungsfelder zu berechnen. Hier greifen beide Domänen auf dieselbe Geometrie, Vernetzung und mechanischen Randbedingungen zu.

Die Kopplung beider Domänen erfolgt über Initialwerte der inneren mechanischen Spannung σ_i. Es muss erfüllt sein, dass die Schichtelemente der »zum Leben erweckten« Aluminiumschicht bei ihrer Abscheidetemperatur im spannungsfreien Zustand vorliegen, sofern keine nicht-thermischen, inneren Spannungsanteile beim Schichtwachstum entstehen. Die hierfür notwendigen Materialspannungen werden aus den Dehnungsfeldern der Lösung der ersten Domäne ε_Physik1 und den Elastizitätsmodul der wiederbelebten Schicht E_Al gewonnen (Bild 2). Nicht-thermische Spannungsanteile, welche zum Beispiel in gesputterten Dünnschichten sehr oft dominieren, können der im Bild 2 gezeigten Kopplung überlagert werden. Das resultierende 40-fach überzeichnete Deformationsprofil und die Kontur der y-Verschiebung nach dem zweiten und vierten Prozessschritt des vorgestellten Beispiels sind in Bild 3 gezeigt. Nach dem Aufdampfen des Aluminiums ist eine maximale Deformation von circa 800 nm bei Raumtemperatur beobachtbar. Würde diese Platte innerhalb eines mikrooptischen Systems in Form eines Spiegels eingesetzt werden, dann würde diese Deformationen zu einer Veränderung der Divergenz der reflektierten Strahlen beziehungsweise zu optischen Abbildungsfehlern führen. Eine Reduzierung der Deformationen kann für den Beispielprozess aus Bild 1 durch eine Reduzierung der Abscheidetemperatur der Aluminiumschicht auf 180°C, eine dünnere Aluminiumschicht oder durch eine geeignete Kompensationsschicht gelingen.

Zur Verifizierung der in Comsol Multiphysics selbst definierten Birth & Death Methode wurde eine Vergleichsrechnung mit einer Referenz FEM-Software durchgeführt. In dieser Software ist die Birth & Death Methode bereits implementiert /4/. Für einen realistischen Vergleich wurden beide Modelle derart angepasst, dass diese eine exakt gleiche Vernetzung, mechanische Randbedingungen und Materialeigenschaften sowie lineare Elementefunktionen besitzen /3/. Die gewonnenen Oberflächenprofile der sphärisch gekrümmten Platte verdeutlichen eine gute Übereinstimmung beider Modelle (Bild 4). Aus den Deformationsprofilen wurde die Krümmungen K mit Hilfe einer sphärischen Kurvenanpassung berechnet (Bild 5). Die Krümmung entspricht dem Kehrwert des Radius der kugelförmig gekrümmten Platte. Sie ist direkt proportional zu der sich innerhalb der Platte einstellenden Spannungsverteilung und demnach als Vergleichskriterium verwendbar.
Im Vergleich zum Referenzmodell ist hier eine 98-prozentige Berechungsgenauigkeit mit Birth & Death unter Comsol Multiphysics erreichbar. Würde man den vorgestellten Beschichtungsprozess in einem Schritt, also ohne die Birth & Death Methode berechnen, so ergibt sich eine starke Abweichung der Verkrümmung von 40 Prozent (Bild 5). Der hier beispielhaft vorgestellte Beschichtungsprozess wurde dafür ausgelegt, die Vorteile von Birth & Death zu verdeutlichen. Allgemein ist die Abweichung zwischen der Simulation mit und ohne Birth & Death abhängig von dem Verhältnis von Substratdicke zur Dicke der Beschichtungen, von der Höhe der inneren Spannungen der Beschichtungen und demnach der Höhe der nach den einzelnen Prozessschritten auftretenden Verformungen, sowie von der Anzahl und der Biegesteifigkeiten (Elastizitätsmodule und Dicken) der Beschichtungen.

Mit der hier vorgestellten Birth & Death Methode ist eine exakte numerische Berechnung der Verkrümmung von mehrlagigen Beschichtungen möglich. Der entscheidende Vorteil dieser Methode ist die Berücksichtigung der Substratverkrümmung, wie dies mit analytischen Berechnungen nicht möglich ist. Wird die Simulation des Beschichtungsprozesses ohne diese Methode durchgeführt, betragen die Abweichungen für das gezeigte Beispiel bis zu 40 Prozent. Die Birth & Death Methode stammt ursprünglich aus einer Referenz FEM-Software. Aufgrund des leichten Zugriffes auf Feldgrößen und deren Kopplung kann Birth & Death auch unter Comsol Multiphysics verwendet werden. Eine einfache Definition von nichtkonstanten inneren Materialspannungen, den so genannten Stressgradienten, ist hier gegenüber der Referenz FEM-Software ein bedeutender Vorteil. Nichtkonstante innere Materialspannungen können aufgrund einer Eigenerwärmung beim Schichtwachstum aber auch aufgrund von Fehlanpassungen in der Grenzschicht zwischen zwei verschiedenen Materialien auftreten und auf die Verformung der Beschichtung einen zusätzlichen Einfluss ausüben. Aufgrund der einfachen Definition von Stressgradienten wird in zukünftigen Prozesssimulationen Comsol Multiphysics verwendet. -sg-

Literaturquellen:
/1/ Stoney, G. G.: The Tension of Metallic Films deposited by Electrolysis. Proc. Royal Soc. London, Vol. 82, pp. 172-175, 1909.

/2/ Vasudevan, M., Johnson, W.: On multi-metal thermostats. Appl. Sci. Res., Sec. B, Vol. 9, pp. 420-430, 1963

/3/ Conrad, H., Klose, T., el. al.: Modeling the Thermally Induced Curvature of Multilayered Coatings with Comsol Multiphysics. Konferenzbeitrag zur European Comsol Conference, Hannover, 2008.

/4/ Mehner, J.: Entwurf in der Mikrosystemtechnik, Habilitation, TU Chemnitz, 1999.

Comsol Multiphysics GmbH, Göttingen Tel. 0551/99721-0, http://www.comsol.de